para meditar.....

"Las matematicas no mienten, lo que hay son muchos matematicos mentirosos"

THOREAU

"Un cientifico debe tomarse la libertad de plantearse cualquier cuestión, de dudar de cualquier afirmacion de corregir los errores.

KOLMOGOROV

"la construccion delos conceptos depende de la forma de proponer los problemas, la cual varia a su vez con le contenido de la misma civlización"

MAX WEBER

" la unica manera de que un hombre pueda razonar sobre los objetos es por medio del análisis"

VOLTAIRE

"todo el análsis infinitesimal gira alrededor delas magnitudes y de las funciones"

EULER

"no es fácil levantar el entusiasmo alguno, despues de que ha sido enfriado artificialmente por los aguafiestas de los rigoristas.....

Pero tendra que haber una teoria de las series divirgentes o una teoria que incluya las series convergentes y divergentes de manera armoniosa"

HEAVISIDE

"La teoria delas probabilidades da no solo y no tanto un aparato de calculo cuanto una concepción más amplias, que permite encontrar el orden y la regularidad alli donde el enfoque determinista resulta impotente"

GNEDENKO

"Cuando las leyes matemáticas se refieren a la realidad no son ciertas , cuando son ciertas se refieren a la no realidad

EINSTEIN

"La ciencia humana consiste en destruir los errores que en descubrir las verdades"

BERNOULLI J.

"La estadistica es una de las ciencias que me muestra que si mi vecino tiene dos coches y yo ninguno, entonces entre los dos tenemos uno"

SHAW

Juguemos a Los Dados

los orígenes de la probabilidad y la estadística son sin duda bastante antiguos, pues algunos juegos de azar, como los dados, probablemente son conocidos desde la mas remota antigüedad.
Por otro lado, aunque sin relación directa con la probabilidad, algunas técnicas que hoy calificaríamos como estadísticas son también bastante antiguas pues sabemos que alguna de las grandes civilizaciones de la antiguedad realiza censos de sus riquezas y sus habitantes. Esto es algo que incluso tuvo considerable trascendencia en el desarrollo de los sistemas numéricos, pues para poder contar grandes cantidades es preciso disponer de un sistema numérico eficiente.

Sin embargo no basta solo con estas ideas, para tener una teoría matemática de la probabilidad; hace falta enfrentarla de manera estructurada. Y probablemente los primeros intentos de tener una teoría matemática, en particular en el contexto de los juegos de azar, se generaron en el ambiente cartesiano de la Italia del siglo XVI. Girolamo Cardamo, escribió un pequeño libro de referencia para el jugador, el Liber de Ludo Alea; en el que como du nombre dice que trata de indicar las posibilidades de combinaciones ganadoras en juegos de azar.

El libro de Cardano no tuvo demaciada repercusión, pues aparte de que no apareció de inmediato tuvo poca difusión; de modo que fue una anécdota que ocurrió mas tarde, en la plenitud de los Luises en Francia, la que introdujo de lleno la probabilidad en las matemáticas. Ésta ocurrió cuando un noble, Chevalier de Mère, propuso al filosofo y matemático frances Blaise Pascal un problema sobre probabilidad de la aparición de un doble 6 al tirar dos lados.

La historia es mas o menos como sigue: De Mère había observado que al efectuar series de 4 tiradas de un dado,, mas de la mitad de las veces aparece un 6; o dicho en otros términos, la probabilidad de obtener un 6 en cuatro tiradas es mayor que 1/2.
Sin embargo, Chevalier encontró que no es cierto que al hacer series de 24 (=6*4) tiradas, mas de la mitad de las veces aparezca un doble 6. El argumento (el cual es incorrecto) de De Mère fue básicamente el siguiente: la aparición de un 6 en uno de los dados no incide en el numero del otro lado (lo que es cierto), de modo que en cada serie de 4 tiradas la probabilidad de tener dos 6 es mayor que 1/6*1/2 (lo que no lo es). y así al concluir 6 series de 4 tiradas ¡ debíamos en principio tener la misma probabilidad que si sólo usáramos un dado! esta contradiccion entre su intuición y lo que realmente ocurre fue tan sorprendente para De Mère que lo llevo a dudar de la validez de las matemáticas.

El barón De Fermat y Pascal, en una serie de cartas que intercambiaron alrededor de 1954, redujeron el problema de calcular la probabilidad de obtener el doble 6 a un problema de contar correctamente las posibilidades y resolvieron así el misterio que preocupaba a De Mère.

En efecto, el planteamiento del problema nos muestra que la probabilidad de un acontecimiento de este tipo esté dada por el cociente entre los casos en que obtenemos el resultado deseado ("casos favorables") con respecto del total de los casos: Si llamamos A al evento "ocurrió el resultado deseado" (por ejemplo, la obtención de un 6 al tirar el dado), y si efectuamos n experimentos (por ejemplo n tiradas de dado), de las cuales m resultan favorables, entonces decimos que la probabilidad de A es p(A)=m/n. Notemos que aquí, por las condiciones mismas del problema, n es menor o igual a m, menor o igual a cero, de modo que independientemente de lo que sea A, siempre se tiene que cero es menor o igual a p(A), menor o igual a 1. Por argumentos semejantes, la probabilidad de que no ocurra el evento A es (m-n)/n=1-p(A); si no ocurre el evento le llamamos complementario (o simplemente complementario) de A.

Mas moneditas

Problema: Supongamos que lanzo tres monedas al aire. Si salen todas iguales te pagaré, digamos, 100 $; pero si no son todas iguales tendrás que pagarme 50 $.De las tres monedas dos habrán de ser necesariamente iguales. La tercera podrá ser igual o diferente que esas dos. La probabilidad de ambos casos son iguales. Por tanto en una de cada dos tiradas las tres monedas serán iguales. Como en caso de ser iguales ganas el doble de lo que pierdes si son distintas el juego te favorece. ¿Estás de acuerdo y juegas?

Añitos

Un hombre que viajaba un montón estaba preocupado por la posibilidad de que hubiera una bomba en alguno de los aviones en que viajaba. Determinó la probabilidad de que ocurriera esto y aunque era baja no lo era tanto como hubiera deseado. Desde entonces viaja siempre con una bomba en su maleta. Piensa que la probabilidad de que haya dos bombas a bordo debe ser ahora despreciable.Razonamientos como el anterior son comunes. Este hecho hace que a veces sea sorprendente el resultado real de algunos razonamientos sobre probabilidades.
¿Cuántos cumpleaños repetidos?
Uno estos resultados a primera vista sorprendente surge de la siguiente pregunta (es interesante responder primero rápidamente, sin efectuar grandes cálculos, y dar después una respuesta más meditada).
Problema: ¿Cuánta gente estimas que debería haber en una habitación para tener ½ de probabilidad de que haya la menos dos personas con el mismo cumpleaños?
Un posible contraataque de un escéptico es el siguiente: "Muy bien, listillo, te voy a demostrar que estas equivocado. ¿A ver cuanta gente hay aquí? Unas 100 personas. A ver, mi cumpleaños es el 28 de Febrero. ¿Alguno de ustedes cumple años también ese día? Ves, ninguno.
Pregunta 2: ¿Qué falla en este razonamiento?La moraleja de esto es que el que ocurra un suceso improbable cualquiera es mucho más probable que el que ocurra un suceso improbable en particular. Que me toque la lotería es muchísimo más improbable a que le toque a alguien. De hecho, siempre que se vendan todos los décimos, la probabilidad de esto último es 1.

Moneditas

Problema: Uno de los juegos con monedas más antiguos consiste en colocar en fila 8 monedas, y tratar de agruparlas, en 4 movimientos, en 4 montones de 2 monedas cada uno. En cada movimiento cada moneda debe saltar exactamente sobre otras dos (independientes o apiladas).
Problema: ¿Puede resolverse el problema anterior con 10 monedas en 5 movimientos? ¿Y 12 en 6 movimientos? ¿Hay alguna estrategia general para 2n monedas en n movimientos?
Problema: Obtener, para 10 monedas un método de apilamiento en el que los montones de 2 monedas resultantes al final sean equidistantes.
Problema: ¿Podrías conseguir que las monedas terminaran en los lugares impares?
Problema: Otro juego consiste en colocar, alternadas, 8 monedas de dos tipos distintos (4 de cada tipo), dejando sitio en un extremo para poner 2 monedas más. Tras 4 movimientos, las monedas de cada han de estar alineadas, en 2 grupos separados. En cada movimiento hay que mover juntas dos monedas adyacentes a otro lado.

¿Cómo cruzar el río?

Dentro de los juegos que podríamos considerar de combinatoria, uno de los acertijos más viejos es el del granjero que viaja con un lobo, un cordero y una cesta de repollos. Por razones obvias no puede dejar solos en ningún momento al lobo y al cordero, ni al cordero y los repollos. En un momento dado llegan a un río. Para cruzarlo tiene un bote en el que solamente puede cruzar él con uno de los tres "objetos".
Problema: ¿Cómo hará para cruzar el río?
Problema: Una variante también clásica es la de los tres hombres y los tres niños con la restricción de que el bote únicamente permite cruzar a un hombre o dos niños cada vez. ¿Cómo harán para cruzar el río?
Problema: ¿Cuántas travesías habrían sido necesarias si solamente hubiera habido dos niños? ¿En este ultimo caso, ¿cuántas travesías serían necesarias para cruzar un regimiento de 1000 soldados?
Problema: Una última variante es las dos (o tres) parejas en las que los maridos son tan celosos que no permiten a su mujer estar con otro hombre, aunque haya más personas presentes, si no están ellos presentes. ¿Sabrías resolver esta última variante?
Problema: ¿Estúdiese el caso de cuatro (o más) parejas?

clásicos de la probabilidad

BIOGRAFIAS

Gerolamo Cardano (1501-1576), médico, matemático y astrólogo italiano cuya obra Ars Magna (1545) marcó el inicio del periodo moderno del álgebra. Nació en Pavía y vivió una infancia desgraciada. Fue nombrado catedrático de Medicina en Pavía en 1543 y en Bolonia en 1562. Sus actividades astrológicas incluyeron un horóscopo de Cristo, y en 1570 fue detenido por la Inquisición acusado de herejía, aunque pronto se retractó y recibió una pensión

del papa Pío V. Cardano escribió más de 200 tratados, pero los más famosos fueron su Ars Magna, que contiene las primeras soluciones publicadas de ecuaciones de tercer y cuarto grado, y el Liber de ludo aleae, que contiene algunos de los primeros trabajos sobre probabilidad, en los que aprovechó su experiencia como jugador.

Unas semanas antes de su muerte finalizó una autobiografía extremadamente franca, De propria vita, que adquirió cierta fama. Su vida personal fue trágica: uno de sus hijos fue ejecutado en 1560 por el asesinato de su esposa, y otro hijo pasó por la cárcel en numerosas ocasiones por diferentes delitos. Una historia afirma que Cardano se suicidó al no cumplirse su predicción astrológica de su propia muerte, aunque lo más probable es que se trate de una mera invención.

Pierre de Fermat

El matemático francés Pierre de Fermat destacó por sus importantes aportaciones a la teoría de la probabilidad y al cálculo diferencial. También contribuyó al desarrollo de la teoría de números.

Pierre de Fermat (1601-1665), matemático francés, nacido en Beaumont-de-Lomagne, que anticipó el cálculo diferencial con su método de búsqueda de los máximos y mínimos de las líneas curvas. En su juventud, con su amigo el científico y filósofo Blaise Pascal, realizó una serie de investigaciones sobre las propiedades de los números. De estos estudios, Fermat dedujo un importante método de cálculo de probabilidades. También se interesó por la teoría de números y realizó varios descubrimientos en este campo. Por estas aportaciones hubo quien le consideró el padre de la teoría moderna

Blaise Pascal

Blaise Pascal, conocido como matemático, científico y

autor, abrazó la religión hacia el final de su corta vida. Pascal argumentaba que es razonable tener fe, aunque nadie pueda demostrar la existencia o inexistencia de Dios; los beneficios de creer en Dios, si efectivamente existe, superan con mucho las desventajas de dicha creencia en caso de que sea falsa.

Calculadora de Pascal

Blaise Pascal

(1623-1662), filósofo, matemático y físico francés, considerado una de las mentes privileg

iadas de la historia intelectual de Occidente. Nació en Clermont-Ferrand el 19 de junio de 1623, y su familia se estableció en París en 1629. Bajo la tutela de su padre, Pascal pronto se manifestó como un prodigio en matemáticas, y a la edad de 16 años formuló uno de los

teoremas básicos de la geometría proyectiva, conocido como el teorema de Pascal y descrito en su Ensayo sobre las cónicas (1639). En 1642 inventó la primera máquina de calcular mecánica. Pascal demostró mediante un experimento en 1648 que el nivel de la columna de mercurio de un barómetro lo determina el aumento o disminución de la presión atmosférica circundante. Este descubrimiento verificó la hipó

tesis del físico italiano Evangelista Torricelli respecto al efecto de la presión atmosférica sobre el equilibrio de los líquidos. seis años más tarde, junto con el matemático francés Pierre de Fermat, Pascal formuló la teoría matemática de la probabilidad, que ha llegado a ser de gran importancia en estadísticas actuariales, matemáticas y sociales, así como un elemento fundamental en los cálculos de la física teórica moderna. Otras de las contribuciones científicas importantes de Pascal son la deducción del llamado ‘principio de Pascal’, que establece que los líquidos transmiten presiones con la misma intensidad en todas las direcciones, y sus investigaciones sobre las cantidades infinitesimales. Pascal creía que el progreso humano se estimulaba con la acumulación de los descubrimientos científicos.

Tartaglia, sobrenombre de Niccolò Fontana (c. 1500-1557), matemático italiano nacido en Brescia, uno de los descubridores de la solución de la ecuación de tercer grado. Se le conoce como Tartaglia (el tartamudo) por su defecto en el habla, debido a las heridas que le causó de niño un soldado francés durante la invasión de su ciudad natal. Tartaglia enseñó matemáticas en varias universidades antes de instalarse en Florencia en 1542. Escribió sobre artillería y tradujo los Elementos de Euclides. Reveló su método de resolución de ecuaciones de tercer grado a otro famoso matemático renacentista, Gerolamo Cardano, y és

te lo publicó en 1545, por lo que se conoce como ‘fórmula de Cardano’. No obstante, el mérito

del descubrimiento debería recaer probablemente sobre otro matemático italiano Scipione del Ferro.

Galileo

El físico y astrónomo italiano Galileo sostenía que la Tierra giraba alrededor del Sol, lo que contradecía la creencia de que la Tierra era el centro del Universo. Se negó a obedecer las órdenes de la Iglesia católica para que dejara de exponer sus teorías, y fue condenado a reclusión perpetua. En 1992 una comisión papal reconoció el error de la Iglesia.

Abraham de Mouvre (1667 1754)

Paso cinco años en una academia de religion protestante de Sedán y estudió lógica en Saumur (una de las cuatro universidades protestantes despues de la promulgación del edicto de Nantes) Con la revocación del edicto de Nantes y de la expulsión de Hugotones , el protestante de Moivre emigró a inglaterra se convirtio en tutor privado y espero largemente para ocupar la cátedra de matemáticas, pero siendo extranjero se convirtió en una desventaja. fue elegido miembro de la royal society encargada de dirigir en ese momento las opiniones de los oponentes de Newton desde 1697 se convirtióen un miembro dela sociedad activamente Con el nombre de Moivre se relacionan una serie de resultados en matemáticas, en particular para extraer la raiz de las po tencias de los números complejos escritos en la forma trigonométrica sus obras fundam entales son: the doctrine of chance 1718 y miscellanea analytica de seberius et cuadrantius 1730 a pesar de los excelentes resultados no fueron conocidos or susu contemporóneos y murió en extrema pobreza

Pierre Simon Laplace (1749 1823)

Recibió su for mación, primero en la escuela dirigida por los benedictos y mas tarde, por el colegio jesuita, en su país fue profesor de la academia militar contando con napoleon I entre unos de los alumno s. en 1773 paso a ser miembro de la academia delas ciencias en Paris durante el directorio colaboró activamente en la reorganización del sistema educativo superior en Francia.como presidente dela comisión de pesas y medidas tuvo una gran influencia en la introducción del sisteme metrico decimal sus obras mas importantes: mécanique celesté théore analytique des probabilités lo cual constituye un tratado acerca de las probabilidades y de su aplicación


Carl Friederich Gauss (1777 1855)

manifestó muy tempranamente sus dotes matematicos y en los idiomas en 1795 y 1798 estudio matemóticas y filologia en la universidad de Gotinga en 1796 resolvió el problema clasico de la construcción de las figuras regulares con regla y compás decidiendose asi definitivamente por las matematicas a la edad de los 21 años escribió Disquisitiones aritmeticae que convirtió la teoría de los números en una ciencia sistematica en 1807 obtuvo la catedra de astronomia de la universidad de Gotinga y la direccion del observatorio astronomico los intereses de Gauss fueron extraordinariamente amplios y en todas las ramas dejó una huella indeleble sus trabajos son acerca del magnetismo geodesia, algebra teoria de los números,análisis matematico, electricidad magnetismo entre otras pero en matematicas se vio opacado por las publicaciones tardias, el poco cambio de correspondencia entre varios mas delimitantes; despues de su muerte el rey Hannover ordeno acuñar monedas con su imagen y el lema "PRINCIPE DE LOS MATEMATICOS" el cual aún se conserva

Curiosidades de la Historia de la Probabilidad

Los conceptos de azar e incertidumbre son tan viejos como la civilización misma. La humanidad siempre ha debido soportar la incertidumbre acerca del clima, de su abastecimiento de alimentos y de otros aspectos de su medio ambiente, ya ha tenido que esforzarse por reducir esta incertidumbre y sus efectos. Incluso la idea de juego de azar tiene una larga historia. Aproximadamente por el año 3,500 A. C., juegos practicados con objetos de hueso, que podrían ser considerados como los precursores de los dados, fueron ampliamente desarrollados en Egipto y otros lugares. Dados cúbicos con marcas virtualmente idénticas a las de los dados modernos han sido encontrados en tumbas egipcias que datan del año 2,000 A. C. Sabemos que el juego con dados ha sido popular desde esa época y que fue parte importante en el primer desarrollo de la teoría de la probabilidad.
Se acepta generalmente que la teoría matemática de la probabilidad fue iniciada por los matemáticos franceses Blaise Pascal (1623-1662) y Pierre Fermat (1601-1665) cuando lograron obtener probabilidades exactas para ciertos problemas relacionados con los juegos de dados. Algunos de los problemas que resolvieron habían permanecido sin solución por más de 300 años. Sin embargo, probabilidades numéricas para ciertas combinaciones de dados ya habían sido calculadas por Girolamo Cardano (1501-1576) y por Galileo Galilei (1564-1642).
La teoría de la probabilidad ha sido constantemente desarrollada desde el siglo XVII y ampliamente aplicada en diversos campos de estudio. Hoy, la teoría de la probabilidad es una herramienta importante en la mayoría de las áreas de ingeniería, ciencias y administración. Muchos investigadores se dedican activamente al descubrimiento y puesta en práctica de nuevas aplicaciones de la probabilidad en campos como medicina, meteorología, fotografía desde naves espaciales, mercadotecnia, predicciones de terremotos, comportamiento humano, diseño de sistemas de computadores y derecho. En la mayoría de los procedimientos legales relacionados con prácticas monopolísticas o con discriminación laboral, ambas partes presentan cálculos probabilísticos y estadísiticos para apoyar sus pretensiones.

Aplicaciones de la Probabilidad

"Una de las primeras aplicaciones de la probabilidad fue en las ciencias actuariales, que comprenden el estudio de seguros de vida, fondos de pensiones y problemas relacionados. Otro uso importante de la probabilidad está en la estadística, la cual penetra en una multitud de campos, tales como finanzas, economía, biología, psicología y las ciencias sociales en general. El cálculo de probabilidades también se emplea en la física y química modernas y en muchas ingenierías, como por ejemplo en la teoría de ajuste por mínimos cuadrados, en el estudio de problemas de aglomeración (problemas de tráfico), en la teoría de muestreo y en el control de calidad de productos manufacturados."*

*Tomado de Lehmann, Charles H. Algebra. Editorial Limusa. México: 1986

MATEMATICOS

para dar una especulación mas critica acerca del surgimiento y del desarrollo de la teoría de las probabilidades es necesario dar anuncio a los principales adelantos que se han hecho en esta ciencia, por lo cual se hará una breve mención acerca de los representantes de estas teorías empezando por:



Abraham de Moivre (1667 1754 )



su principal trabajo resido en demostrar la probabilidad cuando se tienen n/2 sucesos en n pruebas llegando a una mejora de los resultados de bernoulli siendo de esta manera uan aproximacion para las potencias de dos cuando estas involucran una cantidad determinada de sucesos







Pierre Simon Laplace (1749 1827)




fue el primero de los investigadores de la probabilidad en aplicar un análisis en las teorías de la probabilidad con o cual se vio en la necesidad de recopilar y sistematizar la teoría existente en su obra la teoría analítica de las probabilidades y en el ensayo filosófico de las probabilidades,estos se resumen en la definición clásica de la probabilidad, la demostración del teorema de moivre en relación con la probabilidad de condiciones , el teorema de la succión de euler maclaurin y de la capacidad de esta formula para describir fenómenos exactos ademas se publico una formula general con respecto a los limites para hallar la regularidad a una situación.



Carl Friederich Gauss (1777 1855)

Conceptos basicos Sobre Probabilidad

Conceptos Básicos

La teoría de la probabilidad ha sido relacionada desde sus comienzos con los juegos de azar, de hecho ya en los tiempos del primer emperador romano Augusto (63 A.C-14 D.C), eran comunes los juegos de azar y se hacían tablas de mortandad´. éste fue el origen de la probabilidad y la estadística. Posteriormente estas dos disciplinas se fueron separando debido a sus distintos objetivos, pero sin dejar estar relacionadas. En el siglo XVI se sostuvieron discusiones filosóficas sobre probabilidades destaca en estas la época del filosofo italiano Gerolamo Cardano quien fue uno de los primeros en hacer un tratamiento matemático al azar. Entre los siglos XVII y XVIII se hicieron importantes avances en la teoría de la probabilidad debido en parte al desarrollo del calculo infinitesimal; de este periodo sobresalen, entre otros resultados, los siguientes: La ley de los Grandes Números, debido a James Bernoulli, esta ley es un teorema de límite básico en la teoría moderna de probabilidad, una interpretación sencilla de ella establece que si se realiza un experimento aleatorio en el que hay solo dos posibles resultados: éxito y fracaso, entonces la proporción de éxitos obtenidos tiende a estabilizarse alrededor de un numero entre 0 y 1 (que resulta ser la probabilidad de éxito), a medida que aumenta el numero de repeticiones; y el teorema de DeMoivre-Laplace de 1733, 1785 y 1812, el cual establece que cuando n es suficientemente grande, una variable aleatoria binomial con parámetros n y p tienen aproximadamente la misma distribución que una variable aleatoria normal con media np y
np( 1-p). Este resultado fue probado inicialmente por DeMoivre para el caso p=1/2 en el año 1733 y luego extendido, al caso cero es menor que p, menor que 1; arbitrario por Laplace en el año 1812.

Problema de Galileo

El Príncipe de Toscana, muy aficionado al juego de los dados, preguntó a Galileo por qué al tirar tres dados y sumar sus resultados era más frecuente obtener 10 puntos que 9, a pesar de que en ambos casos hay seis formas distintas de obtener dichas sumas:

10 = 6+3+1 = 6+2+2 = 5+4+1= 5+3+2 = 4+4+2 = 4+3+3 y 9= 6+2+1 = 5+3+1 = 5+2+2 = 4+4+1 = 4+3+2 = 3+3+3.

Para resolver el problema Galileo construyó la siguiente tabla, en la que calcula las distintas formas de obtener cada suma:

Observa que en la tabla aparecen sólo 108 resultados, la mitad de los 216 posibles, en ellos la suma 10, que figura en la primera columna, se produce en 27 casos, frente a los 25 casos en los que la suma es 9.